বিসিএসে আসা অসমতার সমাধান শিখুন সহজেই।

৩৫ তম বিসিএস থেকে শুরু করে ৪৪ প্রতি বছর বিসিএস প্রিলিমিনারিতে অসমতা থেকে একটা প্রশ্ন আসে। মানবিক বা ব্যবসায় শাখার শিক্ষার্থীদের গনিত ভীতি থাকে। কিন্তু সহজেই অসমতার সমাধান শিখে বিসিএস প্রিলিমিনারির গনিতে ১ মার্ক নিশ্চিত করতে পারি।

আজকে আমরা সেটাই শিখার চেষ্টা করবো।

বিসিএস অসমতার সমাধান

৩৫ থেকে ৪৪ তম বিসিএসএ দুই ধরনের প্রশ্ন এসেছেঃ

ধরণ ১ঃ

অসমতার একপাশে x চলকের দ্বিঘাত সমীকরণ অন্যপাশে শুন্য দেওয়া থাকবে x এর সীমা নির্ণয় করতে হবে। যেমনঃ x²-5x+6<0 এর সমাধান কোনটি? —–৩৭ তম বিসিএস

2x²+5x+3<0 এর সমাধান কোনটি? —–৩৯ তম বিসিএস।

x²-3x-10>0 এর সমাধান কোনটি? —– ৪২ তম বিসিএস

5x-x² -6>0 এর সমাধান কোনটি? —– ৪৩ তম বিসিএস।

ধরণ ২ঃ

অসমতার একপাশে মডুলাস বা পরমমান সহকারে x চলকের একঘাত এবং অন্যপাশে ধ্রুবক সংখ্যা থাকে। যেমনঃ বাস্তব সংখ্যায় ।x-3| <5 এর সমাধান কোনটি? ——-৩৫ তম বিসিএস

বাস্তব সংখ্যায় ।2x-3| ≤1 এর সমাধান কোনটি?  ………৩৮ তম বিসিএস

বাস্তব সংখ্যায় ।x-2| <3  এর সমাধান কোনটি?  ………৪১ তম বিসিএস

বাস্তব সংখ্যায় ।3x+2| <7  এর সমাধান কোনটি?  ………৪৪ তম বিসিএস( দেখুন 44th BCS Preliminary Question).

এছাড়া আরো একটি প্রশ্ন এসেছিলো ৪০ তম বিসিএস প্রিলিতেঃ 3x-2>2x-1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান শুরু করার আগে কয়েকটা নিয়ম জেনে নেইঃ

১। অসমতার উভয় পক্ষকে (-১) বা ঋণাত্মক দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তিত হয়। যেমনঃ -x>1, উভয়পক্ষকে -1 দিয়ে গুণ করলে -(-x) <-1 বা, x<-1.

২। উভয়পক্ষকে ইনভার্স করলে অর্থাৎ উভয়পাশের ভগ্নাংশকে উল্টালে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তিত হয়। যেমনঃ 1/x<1/4 হলে x>4.

এবার আমরা সবচেয়ে সহজ ৪০ তম বিসিএসে আসা অসমতার প্রশ্নটি সমাধান করি 3x-2>2x-1 এর সমাধানঃ

ক) [1, ∞) খ) (1, ∞)

গ) [1/2, ∞) ঘ) [-1, ∞)

প্রথমে [1, ∞) ও (1, ∞) এর পার্থক্য জানা দরকার [1, ∞) এর অর্থ 1 এর সমান অথবা বড়, কিন্তু (1, ∞) এর অর্থ 1 থেকে বড় ।

এবার সমাধানে আসা যাকঃ 3x-2>2x-1 বা, 3x-2x>-1+2 বা, x>1 অর্থাৎ x, 1 অপেক্ষা বড়। অতেব খ নং উত্তর।

ধরণ ২ এর সমাধান করার চেষ্টা করিঃ

।x-3| <5 এর সমাধান কোনটি?

ক) 2<x<8 খ) -2<x<8

গ) -8<x<-2 ঘ) -4<x<-2

|x|<5 অর্থ x এর মান -5<x<5. সুতরাং ।x-3| <5 কে লিখা যায় -5<x-3<5

এখন আমাদের এমনভাবে যোগ-বিয়োগ গুন বা ভাগ করা লাগবে যেন মাঝে শুধু x থাকে। সমীকরণের প্রতি পাশে যদি 3 যোগ করি তাহলে মাঝে শুধু x থাকবে। তাই উভয় পাশে 3 যোগ করে পাই -5+3<x-3+3<5+3 বা, -2<x<8, অতএব খ নং উত্তর।

অনুরূপঃ ।2x-3| ≤1 এর সমাধান কোনটি?

ক) 1<x<2 খ) x≤1 অথবা x≥2

গ) 1≤x≤2 ঘ) -1<x<2

বা, -1≤2x-3≤1 উভয়পাশে 3 যোগ করে পাই, -1+3≤2x-3+3≤1+3 বা, 2≤2x≤4. উভয়পাশে 2 দিয়ে ভাগ করলে মাঝে শুধু x আসবে, অতএব 1≤x≤2.

এখন ।x-2| <3 ও ।3x+2| <7 এর সমাধান নিজেরাই বের করুন তারপর আমার সাথে মিলিয়ে নেনঃ প্রথমটির উত্তর হবে -1<x<5 ও দ্বিতীয়টির উত্তর হবে -3<x<5/3.

ধরণ ১ এর সমাধান শিখিঃ

x²-5x+6<0 এর সমাধান কোনটি? —–৩৭ তম বিসিএস

ক) 2<x<3 খ) -3<x<-2

গ) x<2 ঘ) x<3

এ জাতীয় অসমতার সমাধান করার করার জন্য প্রথমে দ্বিঘাত সমীকরণকে দুইটি উৎপাদকের গুণফল আকারে প্রকাশ করতে হবে। x²-5x+6=x² -2x-3x +6=x(x-2) -3(x-2) = (x-2)(x-3)

অতএব, (x-2)(x-3) <0

এখনও কিন্তু সমাধান শেষ হয়নি। এখন আমরা দারুন একটা ট্রিক্স শিখবো, চলুন শুরু করা যাকঃ

উৎপাদকের সমাধানগুলো সংখ্যারেখার নিয়ম অনুযায়ী সরলরেখায় বসায়, এখানে সমাধানগুলো হলো 2 ও 3। সংখ্যারেখায় 2 ও 3 বসিয়ে পাইঃ

এবার সংখ্যারেখার যে অংশটুকু শর্তের সাথে মিলে সে অংশটুকু উত্তর। প্রশ্নে উৎপাদকের গুণফল <0, অর্থাৎ, (-) চিহ্নিত অংশটুকু উত্তর। সুতরাং উত্তর হবেঃ 2<x<3.

বলে রাখা ভালো, প্রশ্নে উৎপাদকের গুণফল >0 দেওয়া থাকলে (+) চিহ্নিত অংশটুকু উত্তর হতো, অর্থাৎ, উত্তর হতোঃ x>3 এবং x<2. 3 এর ডানপাশে (+) তাই x>3 হয়েছে। আবার 2 এর বামপাশের (+) অংশটুকু 2 অপেক্ষা ছোট হওয়ায় x<2 হয়েছে।

আরেকটা সমাধান করা যাকঃ

5x-x² -6>0 এর সমাধান কোনটি? —– ৪৩ তম বিসিএস।

ক) x>3, x<2 খ) 2>x>3

গ) x<2 ঘ) 2<x<3

5x-x² -6>0 বা, -5x+x² +6<0 আগেই বলেছি অসমতার সমীকরণের উভয়পাশে (-) দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তিত হয়। সুতরাং, x² -5x+6<0 এখন প্রশ্নটা ঠিক আগের প্রশ্নের মত হয়ে গেছে খেয়াল করে দেখুন। অতএব, উত্তর হবে 2<x<3।

পরবর্তী প্রশ্নঃ

x²-3x-10>0 এর সমাধান কোনটি? —– ৪২ তম বিসিএস

ক) (-∞, -1) U (4, +∞) খ) (-∞, -2) U (5, +∞)

গ) (∞, 2) U (5, +∞) গ) (-5, -∞) U (∞, 2)

x²-3x-10>0 বা, x² -5x+2x-10>0 বা, x(x-5)+2(x-5)>0 বা, (x-5)(x+2)>0 উৎপাদকগুলোর সমাধানঃ -2, 5. সংখ্যারেখায় -2 ও 5 বসিয়ে এবং একইভাবে +, – বসিয়ে পাইঃ

প্রশ্নের সমীকরনটি >0 হওয়ায় (+) চিহ্নিত অংশগুলো উত্তর হবে। অর্থাৎ, উত্তর x<-2 বা, x>5. যা -∞x<-2 বা 5<x<∞ এর সমান। উত্তর হবে (-∞, -2) U (5, +∞) ।

ওকে বিসিএস প্রিলিমিনারিতে আসা সকল অসমতার সমাধান শিখে গেলাম, যা আমাদের বিসিএস প্রিলিমিনারিতে ১ নম্বর নিশ্চিত করবে ইনশাআল্লাহ।

কোন কিছু না বুঝলে বা সমস্যা হলে যোগাযোগ করতে ক্লিক করুন।